§ 14. Законы распределения непрерывных случайных величин
Рассмотрим
некоторые наиболее важные законы распределения случайных величин.
2.
Экспоненциальное (показательное) распределение
Непрерывная
случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b],
если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а
вне его равна нулю, т.е.
где С = Const. Используя условие
нормировки 2 из § 9, определим С.
,
откуда с = 1/(b-a) и, следовательно,
плотность равномерного распределения имеет вид:
(14.1)
Теперь
определим вид интегральной функции распределения для этого закона, который в
силу (9.1) будет следующим:
(14.2)
Изобразим графики f(x) и F(x):
Рис.
14.1
Определим
числовые характеристики данной случайной величины:
(14.3)
(14.4)
(14.5)
Наконец,
найдем вероятность попадания значений равномерно распределенной случайной
величины на интервале (a,b) в интервал (a , b ):
(14.6)
Непрерывная
случайная величина подчинена равномерному закону распределения, если ее
возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала, кроме
того, в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково
вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности). С такими случайными
величинами часто встречаются в измерительной практике при округлении от счетов
измерительных приборов до целых делений шкал. Ошибка при округлении отсчета до
ближайшего целого деления является случайной величиной x ,
которая с постоянной плотностью вероятности принимает любое значение между
соседними целыми делениями.
Исключительно
важную роль в теории вероятностей играет нормальное распределение (закон
Гаусса).
Непрерывная
случайная величина x имеет нормальное распределение вероятностей с
параметрами а, s > 0, если плотность распределения ее имеет
вид:
(14.12)
Нормальный закон распределения широко
применяется в практических задачах, он проявляется во всех случаях, когда
случайная величина является результатом действия большого числа различных
факторов. Каждый фактор в отдельности на величину x влияет
незначительно.
Функция
распределения такой случайной величины имеет вид:
(14.13)
Для
определения числовых характеристик воспользуемся интегралом Пуассона:
(14.14)
Имеем:
то
есть Mx = a. (14.15)
Далее,
итак:
Dx = s 2 . (14.16)
Таким
образом, параметры а, s 2 в выражении (14.12) есть
математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной
величины, а
(14.17)
График
плотности вероятности имеет вид нормальной кривой (Гаусса):
Рис.
14.3
Отметим некоторые свойства нормальной
кривой.
1.
Кривая распределения симметрична относительно прямой х = а.
2.
3.
4. При изменении математического ожидания и при s = Const,
происходит смещение кривой вдоль
оси Ох. Если положить а = Const и изменять
s
, то кривая изменяет свой вид в зависимости от s .
Рис.
14.4
Замечание. Пусть x - нормальная случайная величина с параметрами
(0,1), Тогда ее плотность имеет вид:
,
а функция распределения
(14.18)
есть функция Лапласа (см. (13.4\)).
С помощью Ф(х) можно вычислять вероятность того, что нормальная
случайная величина с параметрами (а,s 2) примет значение из интервала (a ,b ).
Именно,
(14.20)
Отметим
важный частный случай последней формулы:
(14.21)
Если взять 
,
то получим, независимо от а,
(14.22)
Формула
(14.22) носит название правила трех сигм.
2. Экспоненциальное (показательное) распределение данные
В
практических приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового
обслуживания, исследовании операций, в физике, биологии, теории надежности,
часто имеют дело со случайными величинами, которые имеют экспоненциальное
распределение.
Случайная
величина x распределена по показательному закону с
параметром l >0, если она непрерывна и имеет следующую
плотность распределения вероятностей:
(14.7)
Тогда
(x
> 0).
Таким образом,
(14.6)
соответственно, графики f(x) и F(x) имеют
вид:
Рис. 14.2
Определим числовые
характеристики:
(14.9)
(14.10)
(14.11)